Question

規(guī)定函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最小值叫做函數(shù)y=f（x）的“中心距離”，給出以下四個(gè)命題：以下命題是真命題的是

 

（寫出所有其命題的序號(hào)）
①函數(shù)y=

1

x

的“中心距離”大于1；
②函數(shù)y=

5-4x-x2

的“中心距離”大于1；
③若函數(shù)y=f（x）（x∈R）與y=g（x）（x∈R）的“中心距離相等”，則函數(shù)L（x）=f（x）-g（x）至少有一個(gè)零點(diǎn)；
④f（x）是其定義域上的奇函數(shù)，是它的“中心距離”為0的充分不必要條件．

Answer 1

分析：在函數(shù)y=

1

x

的圖象上任取一點(diǎn)P（b，

1

b

），利用兩點(diǎn)間距離公式和均值定理能判斷出①正確，再分別舉出反例判斷出②，③，④均不正確．

解答：解：①在函數(shù)y=

1

x

的圖象上任取一點(diǎn)P（a，b），則a=

1

b

，
∴點(diǎn)P（a，b）到原點(diǎn)距離d=

a2+b2

=

1 b2 +b2

≥

2

＞1，
∴函數(shù)y=

1

x

的“中心距離”大于1，故①正確；
②∵函數(shù)y=

5-4x-x2

上的點(diǎn)（1，0）到原點(diǎn)距離d₁=1，
∴函數(shù)y=

5-4x-x2

的“中心距離”大于1不正確，故②錯(cuò)誤；
③∵函數(shù)y=f（x）=1與y=g（x）=-1的“中心距離相等”，
L（x）=f（x）-g（x）=2沒(méi)有零點(diǎn)，
∴函數(shù)L（x）=f（x）-g（x）至少有一個(gè)零點(diǎn)不正確，故③錯(cuò)誤；
④由①知奇函數(shù)y=

1

x

的“中心距離”是

2

，故④錯(cuò)誤．
故答案為：①．

點(diǎn)評(píng)：本題考查真假命題的判斷，當(dāng)判斷一個(gè)命題為真命題時(shí)要給出具體的判斷過(guò)程，當(dāng)判斷一個(gè)命題為假命題時(shí)只需舉出一個(gè)反例即可．