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        1.  設(shè)拋物線的方程為,為直線上任意一點,過點作拋物線的兩條切線,切點分別為,.

          (1)當的坐標為時,求過三點的圓的方程,并判斷直線與此圓的位置關(guān)系;

          (2)求證:直線恒過定點;

          (3)當變化時,試探究直線上是否存在點,使為直角三角形,若存在,有幾個這樣的點,若不存在,說明理由.

           

           

          【答案】

           (本小題滿分14分)

          解:(1)當的坐標為時,設(shè)過點的切線方程為,代入,整理得,

          ,解得,

          代入方程得,故得,       .................2分

          因為的中點的距離為,

          從而過三點的圓的方程為

          易知此圓與直線相切.              ..................4分

          (2)證法一:設(shè)切點分別為,,過拋物線上點的切線方程為,代入,整理得    

          ,又因為,所以................5分

          從而過拋物線上點的切線方程為

          又切線過點,所以得    ①   即

          同理可得過點的切線為,

          又切線過點,所以得    ②   即.................6分

          即點,均滿足,故直線的方程為                                  .................7分

          為直線上任意一點,故對任意成立,所以,從而直線恒過定點       ..................8分

          證法二:設(shè)過的拋物線的切線方程為,代入,消去,得    

          即:.................5分

          從而,此時,

          所以切點的坐標分別為,.................6分

          因為,

          所以的中點坐標為

          故直線的方程為,即...............7分

          為直線上任意一點,故對任意成立,所以,從而直線恒過定點       ..................8分

          證法三:由已知得,求導得,切點分別為,,故過點的切線斜率為,從而切線方程為

          又切線過點,所以得    ①   即

          同理可得過點的切線為,

          又切線過點,所以得    ②  

          .................6分

          即點,均滿足,故直線的方程為                     .................7分

          為直線上任意一點,故對任意成立,所以,從而直線恒過定點       ..................8分

          (3)解法一:由(2)中①②兩式知是方程的兩實根,故有

          (*)

          ,代入上(*)式得

          ,     .................9分

          ①當時,,直線上任意一點均有,為直角三角形;                                                 .................10分

          ②當時,,不可能為直角三角形;

                                                          .................11分

          ③當時,,.

          因為,

          所以

          ,則,整理得,

          又因為,所以,

          因為方程有解的充要條件是.

          所以當時,有為直角三角形..............13分

          綜上所述,當時,直線上任意一點,使為直角三角形,當時,直線上存在兩點,使為直角三角形;當時,不是直角三角形.

          .................14分

          解法二:由(2)知,是方程的兩實根,即,從而,

          所以

          時,即時,直線上任意一點均有,為直角三角形;                                                 .................10分

          時,即時,不垂直。

          因為,,

          所以

          ,則,整理得

          又因為,所以

          因為方程有解的充要條件是.

          所以當時,有為直角三角形..............13分

          綜上所述,當時,直線上任意一點,使為直角三角形,當時,直線上存在兩點,使為直角三角形;當時,不是直角三角形.

          .................14分

           

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