設(shè)拋物線的方程為
,
為直線
上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)
作拋物線
的兩條切線
,切點(diǎn)分別為
,
.
(1)當(dāng)的坐標(biāo)為
時(shí),求過(guò)
三點(diǎn)的圓的方程,并判斷直線
與此圓的位置關(guān)系;
(2)求證:直線恒過(guò)定點(diǎn);
(3)當(dāng)變化時(shí),試探究直線
上是否存在點(diǎn)
,使
為直角三角形,若存在,有幾個(gè)這樣的點(diǎn),若不存在,說(shuō)明理由.
(本小題滿分14分)
解:(1)當(dāng)的坐標(biāo)為
時(shí),設(shè)過(guò)
點(diǎn)的切線方程為
,代入
,整理得
,
令,解得
,
代入方程得,故得
, .................2分
因?yàn)?sub>到
的中點(diǎn)
的距離為
,
從而過(guò)三點(diǎn)的圓的方程為
.
易知此圓與直線相切.
..................4分
(2)證法一:設(shè)切點(diǎn)分別為,
,過(guò)拋物線上點(diǎn)
的切線方程為
,代入
,整理得
,又因?yàn)?sub>
,所以
................5分
從而過(guò)拋物線上點(diǎn)的切線方程為
即
又切線過(guò)點(diǎn),所以得
① 即
同理可得過(guò)點(diǎn)的切線為
,
又切線過(guò)點(diǎn),所以得
② 即
.................6分
即點(diǎn),
均滿足
即
,故直線
的方程為
.................7分
又為直線
上任意一點(diǎn),故
對(duì)任意
成立,所以
,從而直線
恒過(guò)定點(diǎn)
..................8分
證法二:設(shè)過(guò)的拋物線的切線方程為
,代入
,消去
,得
即:
.................5分
從而,
此時(shí)
,
所以切點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
,
.................6分
因?yàn)?sub>,
,
,
所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為
故直線的方程為
,即
...............7分
又為直線
上任意一點(diǎn),故
對(duì)任意
成立,所以
,從而直線
恒過(guò)定點(diǎn)
..................8分
證法三:由已知得,求導(dǎo)得
,切點(diǎn)分別為
,
,故過(guò)點(diǎn)
的切線斜率為
,從而切線方程為
即
又切線過(guò)點(diǎn),所以得
① 即
同理可得過(guò)點(diǎn)的切線為
,
又切線過(guò)點(diǎn),所以得
②
即.................6分
即點(diǎn),
均滿足
即
,故直線
的方程為
.................7分
又為直線
上任意一點(diǎn),故
對(duì)任意
成立,所以
,從而直線
恒過(guò)定點(diǎn)
..................8分
(3)解法一:由(2)中①②兩式知是方程
的兩實(shí)根,故有
(*)
將,
,代入上(*)式得
∴
, .................9分
①當(dāng)時(shí),
,直線
上任意一點(diǎn)
均有
,
為直角三角形;
.................10分
②當(dāng)時(shí),
,
,
不可能為直角三角形;
.................11分
③當(dāng)時(shí),
,
.
因?yàn)?sub>,
,
所以
若,則
,整理得
,
又因?yàn)?sub>,所以
,
因?yàn)榉匠?sub>有解的充要條件是
.
所以當(dāng)時(shí),有
或
,
為直角三角形..............13分
綜上所述,當(dāng)時(shí),直線
上任意一點(diǎn)
,使
為直角三角形,當(dāng)
時(shí),直線
上存在兩點(diǎn)
,使
為直角三角形;當(dāng)
或
時(shí),
不是直角三角形.
.................14分
解法二:由(2)知,
且
是方程
的兩實(shí)根,即
,從而
,
所以
當(dāng)時(shí),即
時(shí),直線
上任意一點(diǎn)
均有
,
為直角三角形;
.................10分
當(dāng)時(shí),即
時(shí),
與
不垂直。
因?yàn)?sub>,
,
所以
若,則
,整理得
,
又因?yàn)?sub>,所以
,
因?yàn)榉匠?sub>有解的充要條件是
.
所以當(dāng)時(shí),有
或
,
為直角三角形..............13分
綜上所述,當(dāng)時(shí),直線
上任意一點(diǎn)
,使
為直角三角形,當(dāng)
時(shí),直線
上存在兩點(diǎn)
,使
為直角三角形;當(dāng)
或
時(shí),
不是直角三角形.
.................14分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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.(本小題滿分14分)設(shè)拋物線的方程為
,
為直線
上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)
作拋物線
的兩條切線
,切點(diǎn)分別為
,
.
(1)當(dāng)的坐標(biāo)為
時(shí),求過(guò)
三點(diǎn)的圓的方程,并判斷直線
與此圓的位置關(guān)系;
(2)求證:直線恒過(guò)定點(diǎn);
(3)當(dāng)變化時(shí),試探究直線
上是否存在點(diǎn)
,使
為直角三角形,若存在,有幾個(gè)這樣的點(diǎn),若不存在,說(shuō)明理由.
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(本題滿分14分)設(shè)拋物線的方程為
,
為直線
上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)
作拋物線
的兩條切線
,切點(diǎn)分別為
,
.
(1)當(dāng)的坐標(biāo)為
時(shí),求過(guò)
三點(diǎn)的圓的方程,并判斷直線
與此圓的位置關(guān)系;
(2)求證:直線恒過(guò)定點(diǎn)
.
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設(shè)拋物線的方程為
,
為直線
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,切點(diǎn)分別為
,
.
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.
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