．(本小題滿分14分)設(shè)拋物線
的方程為
，
為直線
上任意一點，過點作拋物線的兩條切線
，切點分別為
,
.
（1）當的坐標為
時，求過
三點的圓的方程，并判斷直線
與此圓的位置關(guān)系；
（2）求證：直線
恒過定點；
（3）當
變化時，試探究直線上是否存在點，使
為直角三角形，若存在，有幾個這樣的點，若不存在，說明理由.
解：(1)當
的坐標為
時，設(shè)過點的切線方程為
，代入
，整理得
，
令
，解得
，
代入方程得
，故得
， ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
因為到
的中點
的距離為
，
從而過
三點的圓的方程為
．
易知此圓與直線
相切.
．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）證法一：設(shè)切點分別為
,
,過拋物線上點的切線方程為
，代入，整理得
，又因為
，所以
．．．．．．．．．．．．．．．．5分
從而過拋物線上點的切線方程為
即
又切線過點
，所以得
① 即
同理可得過點的切線為
，
又切線過點，所以得
② 即
．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
即點，均滿足
即
，故直線的方程為
．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
又為直線
上任意一點，故
對任意
成立，所以
，從而直線恒過定點
.．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
證法二：設(shè)過的拋物線的切線方程為
，代入，消去
，得
即：
．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
從而
，
此時
，
所以切點
的坐標分別為
，
．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
因為
，
，
，
所以的中點坐標為
故直線的方程為
，即.．．．．．．．．．．．．．．7分
又為直線上任意一點，故對任意成立，所以，從而直線恒過定點 .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
證法三：由已知得
，求導(dǎo)得
，切點分別為,，故過點的切線斜率為，從而切線方程為
即
又切線過點，所以得 ① 即
同理可得過點的切線為，
又切線過點，所以得 ②
即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
即點，均滿足即，故直線的方程為
．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
又為直線上任意一點，故對任意成立，所以，從而直線恒過定點 .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
（3）解法一：由（2）中①②兩式知
是方程
的兩實根，故有
（*）
將
，
，代入上（*）式得
∴
， ．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
①當
時，
，直線
上任意一點均有
，
為直角三角形；
．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
②當
時，
，
，不可能為直角三角形；
．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
③當
時，
，
.
因為，
，
所以
若
，則
，整理得
，
又因為
，所以
，
因為方程有解的充要條件是
.
所以當時，有
或
，為直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分
綜上所述，當時，直線上任意一點，使為直角三角形，當時，直線上存在兩點，使為直角三角形；當或
時，不是直角三角形.
．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
解法二：由（2）知
，
且是方程
的兩實根，即
，從而，
所以
當
時，即時，直線上任意一點均有，為直角三角形；
．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
當
時，即
時，
與
不垂直。
因為，，
所以
若，則，整理得，
又因為，所以，
因為方程有解的充要條件是.
所以當時，有或，為直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分
綜上所述，當時，直線上任意一點，使為直角三角形，當時，直線上存在兩點，使為直角三角形；當或時，不是直角三角形.
．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
【解析】略
能力評價系列答案
唐印文化課時測評系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
| 3 |
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| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
（本小題滿分14分）設(shè)橢圓C1的方程為
(a＞b＞0)，曲線C2的方程為y=
，且曲線C1與C2在第一象限內(nèi)只有一個公共點P。（1）試用a表示點P的坐標；（2）設(shè)A、B是橢圓C1的兩個焦點，當a變化時，求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域；（3）記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個。設(shè)g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積，試求函數(shù)f(a)=min{g(a), S(a)}的表達式。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年江西省撫州市教研室高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)理卷（A） 題型：解答題
（本小題滿分14分）
已知
=2，點（
）在函數(shù)
的圖像上，其中
=
.
(1)證明：數(shù)列
}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)
，求
及數(shù)列{
}的通項公式；
（3）記
，求數(shù)列{
}的前n項和
，并證明
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2015屆山東省威海市高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
(本小題滿分14分)
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天(
)的銷售價格(單位：元)為
，第天的銷售量為
，已知該商品成本為每件25元.
（Ⅰ）寫出銷售額
關(guān)于第天的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）求該商品第7天的利潤；
（Ⅲ）該商品第幾天的利潤最大？并求出最大利潤.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年廣東省高三下學(xué)期第一次月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
（本小題滿分14分）已知
的圖像在點
處的切線與直線
平行.
⑴ 求
，
滿足的關(guān)系式；
⑵ 若
上恒成立，求的取值范圍；
⑶ 證明：
（
）
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