Question

【題目】已知拋物線的焦點為，為坐標(biāo)原點，是拋物線上異于的兩點．

（1）求拋物線的方程；

（2）若直線的斜率之積為，求證：直線過定點．

Answer 1

【答案】（1）y2=4x； （2）直線AB過x軸上一定點（8，0）.

【解析】

（I）利用拋物線的焦點坐標(biāo)，求出，然后求拋物線的方程；（Ⅱ）通過直線的斜率是否存在，設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理以及斜率乘積關(guān)系，轉(zhuǎn)化求解即可．

（Ⅰ）因為拋物線的焦點坐標(biāo)為，所以，所以.

所以拋物線的方程為.

（Ⅱ）證明：①當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)，，

因為直線，的斜率之積為，所以，化簡得.

所以，，此時直線的方程為.

②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，，，

聯(lián)立得化簡得.

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，

因為直線，的斜率之積為，

所以，

即.即，

解得（舍去）或.

所以，即，所以，

即.

綜上所述，直線過軸上一定點.