Question

（本小題10分）已知正方體，是底對角線的交點(diǎn).

求證：（１）∥面；
（2 ）面． 

Answer 1

見解析。

本題主要考查了線面平行、線面垂直的判定定理，考查對基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用能力和基本定理的掌握能力．
（1）欲證C₁O∥面AB₁D₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證C₁O與面AB₁D₁內(nèi)一直線平行，連接A₁C₁，設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O1，連接AO₁，易得C₁O∥AO₁，AO₁?面AB₁D₁，C₁O?面AB₁D₁，滿足定理所需條件；
（2）欲證A₁C⊥面AB₁D₁，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證A₁C與面AB₁D₁內(nèi)兩相交直線垂直根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知A₁C⊥B₁D₁，同理可證A₁C⊥AB₁，又D₁B₁∩AB₁=B₁，滿足定理所需條件．
證明：（1）連結(jié)，設(shè)連結(jié)，
 是正方體  
是平行四邊形
∴A₁C₁∥AC且                
又分別是的中點(diǎn)，
∴O₁C₁∥AO且
是平行四邊形                 
面，面
∴C₁O∥面                      
（2）面     
又，            
                   
同理可證，         
又
面