Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（1）分別求函數(shù)與在區(qū)間上的極值；

（2）求證：對任意， ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上有極小值，無極大值； 在上有極大值，無極小值；（Ⅱ）見解析.

【解析】（Ⅰ）由題意，利用導數(shù)進行求解，首先求出函數(shù)極值點，再判斷極值點兩側的單調性，從而得出是否為極大值點，還是極小值點，問題即可得解；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可將分為和兩段進行證明，在區(qū)間上可比較兩個函數(shù)的極小值與極大值即，在區(qū)間上可考慮將兩函數(shù)作差構造新函數(shù)，再通過判斷新函數(shù)的單調性和最值，從而問題可得證.

試題解析：（Ⅰ） ， ，

故在和上遞減，在上遞增，

在上有極小值，無極大值； ， ，

故在上遞增，在上遞減，

在上有極大值，無極小值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時， ， ，故；

當時， ，令，則，

故在上遞增，在上遞減， ， ；

綜上，對任意， .