Question

有下列命題：
①函數(shù)y=f（-x+2）與y=f（x-2）的圖象關于y軸對稱；
②若函數(shù)f（x+2010）=x²-2x-1（x∈R），則函數(shù)f（x）的最小值為-2；
③若函數(shù)f（x）=log_a|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則f（-2）＞f（a+1）；
④若f（x）=

(3a-1)x+4a，(x＜1) logax，(x≥1)

是（-∞，+∞）上的減函數(shù)，則a的取值范圍是（0，

1

3

）．
其中正確命題的序號是

②

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的對稱性判斷①，單調(diào)性、奇偶性判斷③、圖象的變換最值判斷②，以及分段函數(shù)的單調(diào)性④，即可得到選項．

解答：解：①函數(shù)y=f （-x+2）與y=f （x-2）的圖象關于x=2軸對稱，故①不正確
②函數(shù)f（x）的最小值與函數(shù)f（x+2010）=x²-2x-1（x∈R）的最小值相等，故函數(shù)f（x）的最小值為-2，故②正確
③∵函數(shù)f（x）=log_a|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴a＞1則a+1＞2
根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)則f（-2）=f（2）＜f（a+1），故③不正確
④由于f（x）=

(3a-1)x+4a，(x＜1) logax，(x≥1)

是（-∞，+∞）上的減函數(shù)，
則

0＜a＜1   3a-1＜0   3a-1+4a≤loga1

則a的取值范圍是（0，

1

7

]．故④不正確
故答案為：②

點評：本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，以及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性等有關知識，屬于基礎題．