Question

某工廠隨機抽取處12件A型產品和18件B型產品，將這30件產品的尺寸編成如圖所示的莖葉圖（單位：cm），若尺寸在175cm以上（包括175cm）的產品定義為“標準件”，尺寸在175cm以下（不包括175cm）的產品定義為“非標準件”
（1）如果用分層抽樣的方法從這30件“標準件”和“非標準件”中選取5件，再從這5件中選取2件，那么至少有一件是“標準件”的概率是多少？
（2）若從所有“標準件”中每次隨機抽取1件，取后不放回，抽到“A型標準件”就結束，且抽取次數不能超過3次，用X表示抽取結束時抽到“B型標準件”的個數，試寫出X的分布列，并求出X的數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,莖葉圖,古典概型及其概率計算公式

專題：應用題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）按分層抽樣抽取5件，這5件中，“標準件”的個數為5×

12

30

=2，“非標準件”的個數為5×

18

30

=3，利用對立事件的概率公式，可求至少有一件是“標準件”的概率；
（2）X可能取值為0，1，2，3，求出相應的概率，可計算出X的分布列及數學期望．

解答： 解：（1）讀取莖葉圖中數據，“標準件”的個數為12，“非標準件”的個數為18
按分層抽樣抽取5件，這5件中，“標準件”的個數為5×

12

30

=2，“非標準件”的個數為5×

18

30

=3
設事件A=“從2件標準件和3件非標準件中選2件，至少有一件是標準件”
則P（A）=1-P（

.

A

）=1-

C 2 3

C 2 5

=

7

10

答：至少有一件是“標準件”的概率是

7

10

…（4分）
（2）易知X可能取值為0，1，2，3．事件“X=0”=“A”；“X=1”=“BA”；“X=2”=“BBA”；“X=3”=“BBB”（沒抽到A，也需強制性結束）
P（X=0）=

A 0 4 C 1 8

A 1 12

=

2

3

；P（X=1）=

A 1 4 C 1 8

A 2 12

=

8

33

；P（X=2）=

A 2 4 C 1 8

A 3 12

=

4

55

； P（X=3）=

A 3 4 C 0 8

A 3 12

=

1

55

故X的分布列如下…（10分）

X	0	1	2	3
P	2 3	8 33	4 55	1 55

∴數學期望E（X）=0×

2

3

+1×

8

33

+2×

4

55

+3×

1

55

=

73

165

…（12分）

點評：本小題主要考查分層抽樣、概率、離散型隨機變量的分布列和數學期望等基礎知識，考查數據處理、推理論證、運算求解能力和應用意識．