Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，且曲線在處的切線過原點(diǎn)，求的值及直線的方程；

（2）若函數(shù)在上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）由，列方程求解即可；

（2）由題意知方程在上有實(shí)根，設(shè)，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解即可.

(1) 若,則,所以,

因?yàn)?/span>的圖象在處的切線l過原點(diǎn),

所以直線l的斜率 ,即 ,

整理得，因?yàn)?/span>，所以，，

所以直線l的方程為.

(2)函數(shù)在上有零點(diǎn),即方程在上有實(shí)根，

即方程在上有實(shí)根.

設(shè),則,

①當(dāng)，即時(shí),,在上單調(diào)遞增,

若在上有實(shí)根，則，即，所以.

②當(dāng),即時(shí),時(shí)，,單調(diào)遞減,

時(shí)，,單調(diào)遞增,

所以,由可得,

所以,在上沒有實(shí)根.

③當(dāng)，即時(shí),,在上單調(diào)遞減,

若在上有實(shí)根，則，即，解得.

因?yàn)?/span>,所以時(shí)，在上有實(shí)根.

綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是.