Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，直線AP，AB，AD兩兩相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．

（1）求異面直線PC與BD所成角的余弦值；
（2）求鈍二面角B﹣PC﹣D的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，

設(shè)AP=AB=AD=2BC=2，

則P（0，0，2），C（2，1，0），B（2，0，0），D（0，2，0），

=（2，1，﹣2）， =（﹣2，2，0），

設(shè)異面直線PC與BD所成角為θ，

則cosθ= = = ．

∴異面直線PC與BD所成角的余弦值為

（2）解： =（2，0，﹣2）， =（2，1，﹣2）， =（0，2，﹣2），

設(shè)平面PBC的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，

得 =（1，0，1），

設(shè)平面PCD的法向量 =（a，b，c），

則 ，取b=1，得 =（1，2，2），

設(shè)鈍二面角B﹣PC﹣D的平面角為θ，

cosθ=﹣|cos＜ ＞|=﹣| |=﹣ ，

∴θ=135°，

∴鈍二面角B﹣PC﹣D的大小為135°．

【解析】（1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線PC與BD所成角的余弦值．（2）求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出鈍二面角B﹣PC﹣D的大小．
【考點精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角的相關(guān)知識點，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系才能正確解答此題．