Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，BD是圓的直徑，于點(diǎn)E，DA平分.
（1）證明：AE是圓的切線(xiàn)；
（2）如果，，求CD.

Answer 1

（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）.

解析試題分析：本題主要考查三角形相似、內(nèi)錯(cuò)角相等、弦切角相等、切割線(xiàn)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化能力.第一問(wèn)，連結(jié)OA，利用OA，OD都是半徑，得∠OAD＝∠ODA，利用傳遞性∠ODA＝∠ADE，得∠ADE＝∠OAD，利用內(nèi)錯(cuò)角相等，得OA∥CE，所以，所以AE為圓O的切線(xiàn)；第二問(wèn)，利用第一問(wèn)的分析得△ADE∽△BDA，所以，即BD＝2AD，所以在中，得，利用弦切角相等得，在中，求出DE的長(zhǎng)，再利用切割線(xiàn)定理得CD的長(zhǎng).
（1）連結(jié)OA，則OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA，
又∠ODA＝∠ADE，所以∠ADE＝∠OAD，所以O(shè)A∥CE．
因?yàn)锳E⊥CE，所以O(shè)A⊥AE．
所以AE是⊙O的切線(xiàn)．          5分

（2）由（1）可得△ADE∽△BDA，
所以，即，則BD＝2AD，
所以∠ABD＝30°，從而∠DAE＝30°，
所以DE＝AEtan30°＝．
由切割線(xiàn)定理，得AE²＝ED·EC，
所以，所以．      10分
考點(diǎn)：三角形相似、內(nèi)錯(cuò)角相等、弦切角相等、切割線(xiàn)定理.