Question

【題目】已知等比數(shù)列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5＝28，a4+2是a3，a5的等差中項(xiàng)．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1＝1，數(shù)列{（bn+1﹣bn）an}的前n項(xiàng)和為2n2+n．

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（1）運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公比，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)cn＝（bn+1﹣bn）an，數(shù)列{cn}前n項(xiàng)和為Sn．由數(shù)列的遞推式求得cn，再由數(shù)列的恒等式可得bn，再由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求通項(xiàng)公式．

（1）由題知a3+a4+a5＝28，a4+2是a3，a5的等差中項(xiàng)，

所以a3+a5＝2a4+4，解得a4＝8，a3+a5＝20，

即a1q3＝8，a1q2+a1q4＝20，

解得a1＝1，q＝2，

所以；

（2）設(shè)cn＝（bn+1﹣bn）an，數(shù)列{cn}前n項(xiàng)和為Sn．

由，Sn＝2n2+n，Sn﹣1＝2（n﹣1）2+n﹣1．

解得cn＝4n﹣1．

由（1）可知，

所以，

故，

bn﹣b1＝（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b3﹣b2）+（b2﹣b1），

設(shè)，

所以，

相減可得

3+4（4n﹣5）（）n﹣1，

化簡(jiǎn)可得，

又b1＝1，所以．