Question

對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f'（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，f''是f'（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f''（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心．若f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

，請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，求：
（1）函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

對稱中心為

(

1

2

，1)

；
（2）計算f(

1

2011

)+f(

2

2011

)+f(

3

2011

)+f(

4

2011

)+…+f(

2010

2011

)=

2010

．

Answer 1

分析：（1）先求f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）=0 求得拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式求拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)．
（2）由（1）知，若（a，b）與（c，d）為f（x）圖象上的點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)（

1

2

，1）對稱，則有a+c=1，且f（a）+f（c）=2，根據(jù)該結(jié)論即可求得答案；

解答：解：（1）依題意，得：f′（x）=x²-x+3，∴f″（x）=2x-1．
由f″（x）=0，即2x-1=0．
∴x=

1

2

，
又 f（

1

2

）=1，
∴函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

的對稱中心為（

1

2

，1）；
（2）由（1）知，若（a，b）與（c，d）為f（x）圖象上的點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)（

1

2

，1）對稱，則有a+c=1，且f（a）+f（c）=2，
設(shè)S=f(

1

2011

)+f(

2

2011

)+f(

3

2011

)+f(

4

2011

)+…+f(

2010

2011

)，
又S=f（

2010

2011

）+f（

2009

2011

）+f（

2008

2011

）+f（

2007

2011

）+…+f（

1

2011

），
所以2S=[f（

1

2011

）+f（

2010

2011

）]+…+[f（

2010

2011

）+f（

1

2011

）]=2×2010，
所以S=2010，即f(

1

2011

)+f(

2

2011

)+f(

3

2011

)+f(

4

2011

)+…+f(

2010

2011

)=2010．
故答案為：（1）（

1

2

，1）；（2）2010．

點(diǎn)評：本題考查一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的求法，函數(shù)的拐點(diǎn)的定義以及函數(shù)圖象關(guān)于某點(diǎn)對稱的條件．