Question

【題目】交大設(shè)計(jì)學(xué)院植物園準(zhǔn)備用一塊邊長(zhǎng)為4百米的等邊ΔABC田地(如圖)建立芳香植物生長(zhǎng)區(qū)、植物精油提煉處與植物精油體驗(yàn)點(diǎn).田地內(nèi)擬建筆直小路MN、AP,其中M、N分別為AC、BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在CN上.規(guī)劃在小路MN和AP的交點(diǎn)O(O與M、N不重合)處設(shè)立植物精油體驗(yàn)點(diǎn),圖中陰影部分為植物精油提煉處,空白部分為芳香植物生長(zhǎng)區(qū),A、N為出入口(小路寬度不計(jì)).為節(jié)約資金,小路MO段與OP段建便道,供芳香植物培育之用,費(fèi)用忽略不計(jì),為車輛安全出入,小路AO段的建造費(fèi)用為每百米4萬(wàn)元,小路ON段的建造費(fèi)用為每百米3萬(wàn)元.

(1)若擬建的小路AO段長(zhǎng)為百米,求小路ON段的建造費(fèi)用；

(2)設(shè)∠BAP=,求的值,使得小路AO段與ON段的建造總費(fèi)用最小,并求岀最小建造總費(fèi)用(精確到元).

Answer 1

【答案】(1) 小路ON段的建造費(fèi)用為3萬(wàn)元.

(2) 當(dāng)時(shí)，小路AO段與ON段的建造總費(fèi)用最小，最小費(fèi)用約為元.

【解析】

(1) 在△ 中，，，∠，利用余弦定理可求解長(zhǎng)度，結(jié)合即可求解；

（2）在△ 中，，∠，，，利用正弦定理可求,結(jié)合,可建立關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可判斷最值.

(1)由為中點(diǎn),得 ,在△ 中,∠,由余弦定理可得,,解得或-3(舍去),又,所以,故小路ON段的建造費(fèi)用為3萬(wàn)元.

（2）在△ 中,∠，,由正弦定理可得，，即， ，故小路AO段與ON段的建造總費(fèi)用為

，

則，令，得，，令，得，，故當(dāng)時(shí)，小路AO段與ON段的建造總費(fèi)用最小，由，得，故最小費(fèi)用為元.