Question

【題目】已知棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是側(cè)面DCC1D1內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APD＝∠MPC.則當(dāng)三棱錐P﹣BCD的體積最大時(shí)，三棱錐P﹣BCD的外接球的表面積為_____.

Answer 1

【答案】21π

【解析】

由題意得三角形相似，再借助函數(shù)求最大值，求出的位置在棱上，且時(shí)三棱錐的體積最大，然后由三棱錐為一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，它的外接球的球心是過(guò)底面外接圓的圓心做垂直于底面的直線與中截面的交點(diǎn)，而底面為直角三角形，所以底面外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，且半徑為斜邊的一半，根據(jù)底面外接圓的半徑與球的半徑和三棱錐的高的一半構(gòu)成直角三角形，由題意求出外接球的半徑，求出外接球的表面積．

由題意得是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

且滿足

，，及．

設(shè)，，，，

化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，，

所以點(diǎn)在上，且時(shí)三棱錐的體積最大，

這時(shí)底面外接圓圓心為斜邊的中點(diǎn)，球心為過(guò)垂直于底面的直線與中截面的交點(diǎn)，

則，底面半徑，設(shè)球的半徑，則，，

所以三棱錐的外接球的表面積為，

故答案為：．