Question

如圖，設(shè)P，Q為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且

AP

=

2

3

AB

+

1

4

AC

，

AQ

=

3

5

AB

+

1

3

AC

，則△ABP的面積與△ABQ的面積之比為

3

4

．

Answer 1

分析：如圖所示，分別過點(diǎn)P，Q作PD⊥AB，QE⊥AB，垂足分別為D，E．在△APD中，

PD

=

AD

-

AP

，利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得

PD

•

AB

=0，
把已知代入得到|

AD

|=

2

3

|

AB

|+

1

4

|

AC

|cosA．利用勾股定理可得|

PD

|2=

AP

2-|

AD

|2，于是|

PD

|=

1

4

|

AC

|sinA．同理可得|

QE

|=

1

3

|

AC

|sinA．
由此可得

S△APB

S△AQB

=

| PD |

| QE |

．

解答：解：如圖所示，分別過點(diǎn)P，Q作PD⊥AB，QE⊥AB，垂足分別為D，E．
在△APD中，

PD

=

AD

-

AP

，
∵

PD

⊥

AB

，∴

PD

•

AB

=0，
∴(

AD

-

AP

)•

AB

=

AD

•

AB

-

AP

•

AB

=0，
∴

AD

•

AB

=

AP

•

AB

=(

2

3

AB

+

1

4

AC

)•

AB

=

2

3

AB

2+

1

4

AC

•

AB

，
∴|

AD

|•|

AB

|=

2

3

|

AB

|2+

1

4

|

AC

| |

AB

|cosA，
得到|

AD

|=

2

3

|

AB

|+

1

4

|

AC

|cosA．
∴|

PD

|2=

AP

2-|

AD

|2=(

2

3

AB

+

1

4

AC

)2-(

2

3

|

AB

|+

1

4

|

AC

|cosA)2
=

1

16

AC

2-

1

16

|

AC

|2cos2A=

1

16

|

AC

|2sin2A，
∴|

PD

|=

1

4

|

AC

|sinA．
同理可得|

QE

|=

1

3

|

AC

|sinA．
∴

S△APB

S△AQB

=

| PD |

| QE |

=

1 4 | AC |sinA

1 3 | AC |sinA

=

3

4

．
故答案為

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、勾股定理和三角形的面積計(jì)算公式等是解題的關(guān)鍵．