Question

如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為2，AC∩BD=O，將正方形ABCD沿對角線BD折起，得到三棱錐A—BCD。
（1）求證：平面AOC⊥平面BCD；
（2）若三棱錐A—BCD的體積為，求AC的長。

Answer 1

（1）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211945823526.png" style="vertical-align:middle;" />是正方形，
所以，．…………………………1分
在折疊后的△和△中，
仍有，．…………………………2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211946197602.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平面．………3分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211946369419.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以平面平面．…………………………4分
（2）解：設(shè)三棱錐的高為，
由于三棱錐的體積為，
所以．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232119470551218.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．…5分

以下分兩種情形求的長：
①當(dāng)為鈍角時(shí)，如圖，過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，
由（1）知平面，所以．
又，且，所以平面．
所以為三棱錐的高，即．………………………………………6分
在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211947866540.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以
．………………7分
在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211948412521.png" style="vertical-align:middle;" />，
則．…………………………8分
所以．…………………………9分
②當(dāng)為銳角時(shí)，如圖，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，
由（1）知平面，所以．
又，且，所以平面．
所以為三棱錐的高，即．
在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211947866540.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以
．…………10分
在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211948412521.png" style="vertical-align:middle;" />，
則．
所以．…………………11分
綜上可知，的長為或．

本試題主要是考查立體幾何中垂直的證明，以及利用線面的垂直的判定定理和性質(zhì)定理求解三棱錐的體積，得到AC的長度。