Question

橢圓：的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過作與軸垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，且。
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿足
為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

Answer 1

(1)  (2)

試題分析：（1）設(shè)橢圓的半長軸、半短軸、半焦距為，則，且，
，又，
，
——————————————————————————————6分
（2）由題，直線斜率存在，設(shè)直線： ，聯(lián)立，消得：
，由，得  ①————————8分
設(shè)，由韋達(dá)定理得，
，
則
或（舍）②
由①②得：——————————————————————————11分
則的中點(diǎn)
，得代入橢圓方程得：
，即
，，即————————15分
點(diǎn)評(píng)：根據(jù)圓錐曲線的性質(zhì)求解橢圓的方程，同時(shí)能聯(lián)立方程組來得到交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理來分析求解，屬于中檔題。