【題目】已知函數(shù),
的導(dǎo)函數(shù)為
.
(1)試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)若對(duì)任意的,關(guān)于
的不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
(1)先求函數(shù)的定義域,然后求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),對(duì)
分類討論,將
的零點(diǎn)問題,轉(zhuǎn)化為直線
與函數(shù)
圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來求解出來.(2)構(gòu)造函數(shù)
,將原問題轉(zhuǎn)化為
對(duì)
恒成立,先利用
確定
的一個(gè)范圍,然后利用
的二階導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證在這個(gè)范圍內(nèi),
的最大值不大于零,由此求得
的取值范圍.
解:(1)由題意得的定義域?yàn)?/span>
,
.
(i)當(dāng)時(shí),
,此時(shí)沒有零點(diǎn);
(ii)當(dāng)時(shí),
,
的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于直線
與函數(shù)
圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),可知直線
與函數(shù)
圖象的相切點(diǎn)
,此時(shí)切線的斜率為
.
①當(dāng),即
時(shí),兩個(gè)圖象沒有交點(diǎn),即函數(shù)
沒有零點(diǎn);
②當(dāng),即
時(shí),兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)
有兩個(gè)零點(diǎn);
③當(dāng),即
時(shí)兩個(gè)圖象有一個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)
有一個(gè)零點(diǎn);
④當(dāng),即
時(shí),兩個(gè)圖象有一個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)
有一個(gè)零點(diǎn).
綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)
沒有零點(diǎn);
當(dāng)或
時(shí),
有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),
有兩個(gè)零點(diǎn).
(2)設(shè)
,
要使原不等式恒成立,則只要對(duì)
恒成立,
所以.
令,則
.
由于“對(duì)
恒成立”的一個(gè)必要條件是
,即
.
當(dāng)時(shí),
,
,
所以在
上單調(diào)遞減.
所以,
,從而
在
上單調(diào)遞減,則
,
,
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為
.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在棱長為1的正方體中,點(diǎn)
是對(duì)角線
上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)
與
不重合),則下列結(jié)論正確的是__________
①存在點(diǎn),使得平面
平面
;
②存在點(diǎn),使得平面
平面
;
③的面積可能等于
;
④若分別是
在平面
與平面
的正投影的面積,則存在點(diǎn)
,使得
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線
上的動(dòng)點(diǎn)
到點(diǎn)
的距離減去
到直線
的距離等于1.
(1)求曲線的方程;
(2)若直線 與曲線
交于
,
兩點(diǎn),求證:直線
與直線
的傾斜角互補(bǔ).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)家祖暅提出原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.其中“冪”是截面積,“勢(shì)”是幾何體的高.該原理的意思是:夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體,被任一平行于這兩個(gè)平行平面的平面所截,若所截的兩個(gè)截面的面積恒相等,則這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中的平面內(nèi),若函數(shù)
的圖象與
軸圍成一個(gè)封閉的區(qū)域
,將區(qū)域
沿
軸的正方向平移8個(gè)單位長度,得到幾何體如圖一,現(xiàn)有一個(gè)與之等高的圓柱如圖二,其底面積與區(qū)域
的面積相等,則此圓柱的體積為__________.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,直線
,若直線
上存在點(diǎn)
,過點(diǎn)
引圓的兩條切線
,使得
,則實(shí)數(shù)
的取值范圍是( )
A. B. [
,
]
C. D.
)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)說偉大的阿基米德逝世后,敵軍將領(lǐng)馬塞拉斯給他建了一塊墓碑,在墓碑上刻了一個(gè)如圖所示的圖案,圖案中球的直徑、圓柱底面的直徑和圓柱的高相等,圓錐的頂點(diǎn)為圓柱上底面的圓心,圓錐的底面是圓柱的下底面.
(1)試計(jì)算出圖案中球與圓柱的體積比;
(2)假設(shè)球半徑.試計(jì)算出圖案中圓錐的體積和表面積.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),左焦點(diǎn)
、右焦點(diǎn)
都在
軸上,點(diǎn)
是橢圓
上的動(dòng)點(diǎn),
的面積的最大值為
,在
軸上方使
成立的點(diǎn)
只有一個(gè).
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)的兩直線
,
分別與橢圓
交于點(diǎn)
,
和點(diǎn)
,
,且
,比較
與
的大。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2ax-x2-3ln x,其中a∈R,為常數(shù).
(1)若f(x)在x∈[1,+∞)上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若x=3是f(x)的極值點(diǎn),求f(x)在x∈[1,a]上的最大值.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com