Question

曲線(xiàn)y=2+

3+2x-x2

與直線(xiàn)y=k（x-1）+5有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是

(

5

2

，

3

2

]∪[-

3

2

，-

5

2

)

．

Answer 1

分析：由題意可得，曲線(xiàn)表示一個(gè)半圓，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)M（1，5），先求出切線(xiàn)MD、ME的斜率，再求出MA、MB的斜率，數(shù)形結(jié)合可得曲線(xiàn)與半圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：曲線(xiàn)y=2+

3+2x-x2

，即 （x-1）²+（y-2）²=4，（y≥2），表示一個(gè)半圓．
直線(xiàn)y=k（x-1）+5=kx+5-k 過(guò)定點(diǎn)M（1，5），如圖所示：
A（-1，2）、B（3，2）．
當(dāng)直線(xiàn)和半圓相切時(shí)，則圓心C（1，2）到直線(xiàn)kx-y+5-k=0的
距離等于半徑，即

|k-2+5-k|

k2+1

=2，
解得 k=±

5

2

，即切線(xiàn)MD的斜率為

5

2

，切線(xiàn)ME的斜率為-

5

2

．
由于MA的斜率為

5-2

1+1

=

3

2

，MB的斜率等于

5-2

1-3

=-

3

2

，
數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng)直線(xiàn)和半圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是 (

5

2

，

3

2

]∪[-

3

2

，-

5

2

)，
故答案為 (

5

2

，

3

2

]∪[-

3

2

，-

5

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)和圓相交的性質(zhì)，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，直線(xiàn)的斜率公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，
屬于中檔題．