Question

（2009•長(zhǎng)寧區(qū)一模）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，BC=CC₁=a，AC=2a，
（1）求多面體B₁-AA₁C₁C的體積；
（2）求異面直線AB₁與CC₁所成角的大�。�

Answer 1

分析：（1）由圖可知 所求的四棱錐的體積等于原三棱柱的體積減去三棱錐B₁-ABC的體積，根據(jù)得B₁B⊥平面ABC，可得B₁B是三棱錐B₁-ABC的高，從而求出三棱錐B₁-ABC的體積．
（2）由條件得四邊形CBB₁C₁為正方形，故 BB₁ ∥C₁C，∠AB₁B 為異面直線AB₁與CC₁所成角，Rt△AB₁B 中，由邊角關(guān)系求出tan∠AB₁B 的值，從而求得∠AB₁B 的值．

解答：解：（1）由圖可知，VB1-AA1C1C=VABC-A1B1C1-VB1-ABC，
由條件得B₁B⊥平面ABC，
∴VABC-A1B1C1=S△ABC•B1B=a3，VB1-ABC=

1

3

a3，
因此 VB1-AA1C1C=a3-

1

3

a3=

2

3

a3．
（2）由條件得四邊形CBB₁C₁為正方形，∴BB₁ ∥C₁C，
∴∠AB₁B 為異面直線AB₁與CC₁所成角．
Rt△AB₁B 中，BB₁ =a，AB=

AC2 +BC2

=

5

 a，
tan∠AB₁B=

AB

BB1

=

5 a

a

=

5

，∠AB₁B=arctan

5

．
即異面直線AB₁與CC₁所成角為arctan

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查異面直線所成的角的定義和求法，利用等體積法求棱錐的體積，屬于中檔題．