Question

（2009•長寧區(qū)一模）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，BC=CC₁=a，AC=2a，
（1）求異面直線AB₁與CC₁所成角的大小；
（2）求多面體B₁-AA₁C₁C的體積．

Answer 1

分析：（1）由條件B₁B∥C₁C，因此∠AB₁B即為異面直線AB₁與C₁C所成角再結(jié)合題中的條件以及解三角形的有關(guān)知識求解Rt△ABC，即可得到答案．
（2）由圖可知，VB1-AA1C1C=VABC-A1B1C1-VB1-ABC，由條件得B₁B⊥平面ABC，再根據(jù)體積公式分別求兩個幾何體的條件，進(jìn)而得到答案．

解答：解：（1）由條件B₁B||C₁C，因此∠AB₁B即為異面直線AB₁與C₁C所成角．（2分）
由條件得B₁B⊥平面ABC，
∴B₁B⊥AB，B₁B=CC₁=a，
在Rt△ABC中，求出AB=

5

a．                           （4分）
∴tan∠AB1B=

AB

B1B

=

5

，
∴∠AB1B=arctan

5

．      （5分）
所以異面直線AB₁與C₁C所成角的大小為arctan

5

．        （6分）
（2）由圖可知，VB1-AA1C1C=VABC-A1B1C1-VB1-ABC，（8分）
由條件得B₁B⊥平面ABC，
∴VABC-A1B1C1=S△ABC•B1B=a3，（10分）
VB1-ABC=

1

3

a3，（12分）
因此 VB1-AA1C1C=a3-

1

3

a3=

2

3

a3．（14分）

點評：本題主要考查了棱錐的體積公式，以及異面直線及其所成角，而解決空間角的步驟是：作角、證角、求角，熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征是關(guān)鍵．