Question

已知曲線y=lnx在點P（1，0）處的切線為l，直線l′過點P且垂直于直線l，則直線l′與兩坐標軸圍成的三角形的面積是（　　）

• A、4
• B、2
• C、1
• D、

  1

  2

Answer 1

分析：求出曲線方程的導函數(shù)，把切點P的橫坐標代入求出導函數(shù)值為切線l的斜率，然后由直線l的斜率求出直線l′的斜率，由點P的坐標和求出的斜率寫出直線l′的方程，分別令x=0與y=0求出直線和兩坐標軸的截距，利用三角形的面積公式即可求出直線l′與兩坐標軸圍成的三角形的面積．

解答：解：求導得：y′=

1

x

，把x=1代入導函數(shù)得：y′_|x=1=1，
∴切線l的斜率k=1，故直線l′的斜率為-1，又P（1，0），
∴直線l′的方程為y=-1（x-1），即x+y-1=0，
令x=0，得到y(tǒng)=1；令y=0，得到x=1，
則直線l′與兩坐標軸圍成的三角形的面積S=

1

2

×1×1=

1

2

．
故選D

點評：此題考查了兩直線垂直時斜率滿足的關系，利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程．要求學生理解切點的橫坐標代入導函數(shù)得到的導函數(shù)值為切線方程的斜率，同時掌握兩直線垂直時斜率的乘積為-1．