Question

已知曲線y=（a-3）x³+lnx存在垂直于y軸的切線，函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上單調遞增，則a的范圍為

（-∞，0]

．

Answer 1

分析：曲線y=（a-3）x³+lnx存在垂直于y軸的切線，故f（x）函數(shù)在某一個點處的導數(shù)等于零．由y′=3(a-3)x2+

1

x

，知方程3（a-3）x²+

1

x

=0有解；再由f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上單調遞增，能求出a的范圍．

解答：解：∵曲線y=（a-3）x³+lnx存在垂直于y軸的切線，
∴f（x）函數(shù)在某一個點處的導數(shù)等于零．
由函數(shù)的表達式可知f（x）的定義域為x＞0，
∵y′=3(a-3)x2+

1

x

，
∴方程3（a-3）x²+

1

x

=0有解，
等價于3（a-3）x³+1=0有解時求a的范圍，
∴a＜3；
∵f（x）=x³-ax²-3x+1，
∴f′（x）=3x²-2ax-3，其對稱軸為x=

a

3

，
∵函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上單調遞增，
∴3-2a-3≥0，解得a≤0，
綜上，a的范圍為（-∞，0]．
故答案為：（-∞，0]．

點評：本題考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意導數(shù)的幾何意義和導數(shù)性質的靈活運用，合理地進行等價轉化．