Question

已知雙曲線C關于兩條坐標軸都對稱，且過點P（2，1），直線PA₁與PA₂（A₁，A₂為雙曲線C的兩個頂點）的斜率之積kPA1•kPA2=1，求雙曲線C的標準方程．

Answer 1

（1）當雙曲線的焦點位于x軸上時，設C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
所以A₁（-a，0），A₂（a，0），
所以kPA1•kPA2=

1

2+a

•

1

2-a

=

1

4-a2

=1，
解得a²=3．…2分
將a²=3，P（2，1）代入雙曲線方程，得

4

3

-

1

b2

=1，解得b²=3．…2分
所以雙曲線C的標準方程為

x2

3

-

y2

3

=1．…2分
（2）當雙曲線的焦點位于y軸上時，設C：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），
所以A₁（0，-a），A₂（0，a），
所以kPA1•kPA2=

2

1+a

•

2

1-a

=

4

1-a2

=1，
解得a²=-3（舍去）．…2分
綜上，所求雙曲線C的標準方程為

x2

3

-

y2

3

=1．