已知函數(shù)在
處存在極值.
(1)求實數(shù)的值;
(2)函數(shù)的圖像上存在兩點A,B使得
是以坐標原點O為直角頂點的直角三角形,且斜邊AB的中點在
軸上,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)當時,討論關于
的方程
的實根個數(shù).
(1) .(2)
的取值范圍是
.(3)①當
或
時,方程
有兩個實根;②當
時,方程
有三個實根;③當
時,方程
有四個實根.
解析試題分析:(1)求導得,將
代入解方程組即得
.(2) 由(1)得
根據(jù)條件知A,B的橫坐標互為相反數(shù),不妨設
.接下來根據(jù)
大于等于1和小于1分別求解.(3)由方程
知,顯然0一定是方程的根,所以僅就
時進行研究,這時方程等價于
,構(gòu)造函數(shù)
,利用導數(shù)作出
的圖象即可得方程的要的個數(shù).
試題解析:(1)當時,
. 1分
因為函數(shù)在
處存在極值,所以
解得. 4分
(2) 由(I)得
根據(jù)條件知A,B的橫坐標互為相反數(shù),不妨設.
若,則
,
由是直角得,
,即
,
即.此時無解; 6分
若,則
. 由于AB的中點在
軸上,且
是直角,所以B點不可能在
軸上,即
. 同理有
,即
,
.
因為函數(shù)在
上的值域是
,
所以實數(shù)的取值范圍是
. 8分
(3)由方程,知
,可知0一定是方程的根, 10分
所以僅就時進行研究:方程等價于
構(gòu)造函數(shù)
對于部分,函數(shù)
的圖像是開口向下的拋物線的一部分,
當時取得最大值
,其值域是
;
對于部分,函數(shù)
,由
,
知函數(shù)在
上單調(diào)遞增.
所以,①當或
時,方程
有兩個實根;
②當時,方程
有三個實根;
③當時,方程
有四個實根. 14分
考點:1、導數(shù)的應用;2、方程的根.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R).
(1)當a=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(1)=,且函數(shù)f(x)在
上不存在極值點,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
(其中
).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在區(qū)間
上為增函數(shù),求
的取值范圍;
(3)設函數(shù),當
時,若存在
,對任意的
,總有
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設函數(shù)f(x)=x+ax2+bln x,曲線y=f(x)在點P(1,0)處的切線斜率為2.
(1)求a,b的值;
(2)證明:f(x)≤2x-2.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=ax2-(2a+1)x+2ln x,a∈R.
(1)若曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,求a的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若方程有且只有一個解,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)當且
,
時,若有
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=axln x圖象上點(e,f(e))處的切線與直線y=2x平行,g(x)=x2-tx-2.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)在[n,n+2](n>0)上的最小值;
(3)對一切x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(a>0).
(I)當a=2時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(Ⅱ)若對于任意的x∈(0,+),都有f(x)<0,求a的取值范圍.
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