Question

動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A（a，0），B（-a，0）連線的斜率的乘積為k，試求點(diǎn)P的軌跡方程，并討論軌跡是什么曲線？

Answer 1

分析：由題設(shè)知直線PA與PB的斜率存在，所以kPA•kPB=

y

x-a

•

y

x+a

=k，由此能夠?qū)С鰟?dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程．再對k值進(jìn)行分類討論：當(dāng)k＞0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（除去頂點(diǎn)）；當(dāng)-1＜k＜0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓（除去長軸兩個(gè)端點(diǎn)）；當(dāng)k=-1時(shí)，軌跡C為以原點(diǎn)為圓心，1的半徑的圓除去點(diǎn)（-1，0），（1，0）；當(dāng)k＜-1時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓（除去短軸的兩個(gè)端點(diǎn)）．

解答：解：由題設(shè)知直線PA與PB的斜率存在，所以kPA•kPB=

y

x-a

•

y

x+a

=k，
整理得，點(diǎn)P的軌跡方程為kx²-y²=ka²（x≠±a）；
①當(dāng)k＞0，點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（除去A，B兩點(diǎn)）
②當(dāng)k=0，點(diǎn)P的軌跡是x軸（除去A，B兩點(diǎn)）
③當(dāng)-1＜k＜0時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓（除去A，B兩點(diǎn)）
④當(dāng)k=-1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是圓（除去A，B兩點(diǎn)）
⑤當(dāng)k＜-1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓（除去A，B兩點(diǎn)）

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的軌跡問題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．