Question

動點P到兩定點A（a，0），B（-a，0）連線的斜率的乘積為k（k∈R），則動點P在以下哪些曲線上（　�。�（寫出所有可能的序號）
①直線    ②橢圓    ③雙曲線   ④拋物線       ⑤圓．

• A、①⑤
• B、③④⑤
• C、①②③⑤
• D、①②③④⑤

Answer 1

分析：設(shè)P（x，y），根據(jù)題意利用直線的斜率公式，算出k（x²-a²）=y²．再根據(jù)直線的方程和圓錐曲線方程的一般形式，對k的取值加以討論，即可得到該方程可能表示直線、橢圓、橢圓或圓，但不能表示雙曲線．

解答：解：設(shè)P（x，y），可得PA的斜率k₁=

y

x-a

，PB的斜率k₂=

y

x+a

，
∵P到兩定點A、B連線的斜率的乘積為k，
∴

y

x-a

•

y

x+a

=k，化簡得k（x²-a²）=y²．
①當(dāng)k=0時，方程為y=0，表示x軸所在的直線；
②當(dāng)k≠0，方程變形為x²-

y2

k

=a²．
（i）當(dāng)k=-1時，方程為x²+y²=a²，表示以原點為圓心、半徑r=|a|的圓；
（ii）當(dāng)k＜0且k≠-1時，方程為

x2

a2

+

y2

-ka2

=1，表示橢圓；
（iii）當(dāng)k＞0時，方程為

x2

a2

-

y2

ka2

=1，表示焦點在x軸上的雙曲線．
綜上所述，動點P的軌跡可能是直線、橢圓、橢圓或圓，但不能表示雙曲線．
故選：C

點評：本題給出動點P與A、B兩個定點連線的斜率之積等于常數(shù)k，判斷點P的軌跡是何種圖形．著重考查了直線的斜率、直線與圓的方程、圓錐曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式等知識，屬于中檔題．