Question

已知 在梯形ABCD中，

AB

=(6，1)，

BC

=(x，y)，

CD

=(-2，-3)
（Ⅰ）若

BC

∥

DA

，試求x與y滿足的關(guān)系式；
（Ⅱ）滿足（1）的同時(shí)又有

AC

⊥

BD

，求向量

AC

與

BD

的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由題意和向量的線性運(yùn)算先求出

DA

的坐標(biāo)，再由兩個(gè)向量的平行對(duì)應(yīng)坐標(biāo)條件，求出關(guān)系式；
（2）由題意和向量的線性運(yùn)算先求出

AC

和

BD

的坐標(biāo)，再由兩個(gè)向量的垂直對(duì)應(yīng)坐標(biāo)條件，求出關(guān)系式，再結(jié)合（1）的關(guān)系式進(jìn)行求解，進(jìn)而求出

AC

和

BD

的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意知，

BC

=(x，y)，

DA

=-

AD

=-(

AB

+

BC

+

CD

)=-(x+4，y-2)=(-x-4，-y+2)
∵

BC

∥

DA

，則有x•（-y+2）-y•（-x-4）=0
化簡(jiǎn)得：x+2y=0
（2）∵

AC

=

AB

+

BC

=(x+6，y+1)，

BD

=

BC

+

CD

=(x-2，y-3)
又∵

AC

⊥

BD

，則 （x+6）•（x-2）+（y+1）•（y-3）=0
化簡(jiǎn)有：x²+y²+4x-2y-15=0
聯(lián)立

x+2y=0  x2+y2+4x-2y-15=0

解得

x=-6 y=3

或

x=2 y=-1

當(dāng)

x=-6 y=3

時(shí)，有

AC

=(0，4)   

BD

=(-8，0)；
當(dāng)

x=2 y=-1

時(shí)，有

AC

=(8，0)   

BD

=(0，-4)．

點(diǎn)評(píng)：本題是向量的綜合題，涉及了向量平行以及垂直的坐標(biāo)表示的等價(jià)條件應(yīng)用，向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和知識(shí)的運(yùn)用能力．