Question

【題目】過軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)作曲線：的切線，切點(diǎn)為，，線段的中點(diǎn)為，設(shè)曲線與軸的交點(diǎn)為．

（1）求的大小及的軌跡方程；

（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)到直線的距離最小時(shí)，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）.

【解析】

（1）設(shè)過點(diǎn)，斜率為的直線的方程為，代入得，由相切得，同時(shí)得到切點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)切線，的斜率分別為，，則可得，同時(shí)得出切點(diǎn)的坐標(biāo)，利用計(jì)算可得．再由兩點(diǎn)坐標(biāo)得中點(diǎn)坐標(biāo)，消去參數(shù)可得點(diǎn)軌跡方程；

（2）由點(diǎn)到直線距離公式求得到直線的距離后可得其最小值及此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)，從而得直線方程，代入已知拋物線方程應(yīng)用韋達(dá)定理可求得弦長(zhǎng)，再求出到直線的距離后可得三角形面積．

解：（1）設(shè)過點(diǎn)，斜率為的直線的方程為，

代入得，

當(dāng)直線和拋物線相切時(shí)，有，即，此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為．

設(shè)切線，的斜率分別為，，則，，

相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，

所以，所以．

中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

縱坐標(biāo)為，

所以的軌跡方程為．

（2）動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，，

∴由（1）得中點(diǎn)坐標(biāo)是，設(shè)，則由得，所以，

所以直線的方程為，即，代入曲線的方程得，則，．

，

點(diǎn)到直線的距離為，

所以的面積為．