Question

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求在最小值；
（2）若存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；
（3）求證：（）．

Answer 1

（1）1   （2）

試題分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，即可可求在最小值；（2）先求導(dǎo)，由有正數(shù)解得到含有參數(shù)a的關(guān)于x的不等式有的解,在分類求出滿足條件的a，最后求并集即可.（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明.
試題解析：（1），定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022608411535.png" style="vertical-align:middle;" />．
 
在上是增函數(shù)．
.                               4分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240226084891473.png" style="vertical-align:middle;" />
因?yàn)槿?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022608193447.png" style="vertical-align:middle;" />存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以有正數(shù)解.
即有的解 
當(dāng)時(shí)，明顯成立 .
②當(dāng)時(shí)，開口向下的拋物線，總有的解；
③當(dāng)時(shí)，開口向上的拋物線，
即方程有正根.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022608723555.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以方程有兩正根.
當(dāng)時(shí)，；
，解得．
綜合①②③知：．
或： 
有的解 
即 
即  
，
（3）（法一）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．
令，則有，   ．
，
．                                 14分
(法二)當(dāng)時(shí)，．
，，即時(shí)命題成立．
設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即 ．
時(shí)，．
根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．
令，則有，
則有，即時(shí)命題也成立．
因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立．