【題目】已知的三個(gè)內(nèi)角
,
,
所對(duì)的邊分別為
,設(shè)
,
.
(1)若,求
與
的夾角
;
(2)若,求
周長(zhǎng)的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)將代入可求得
.根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得
,由數(shù)量積的定義即可求得
,進(jìn)而得夾角
.
(2)根據(jù)及向量模的坐標(biāo)表示,可求得
.再由余弦定理可得
.結(jié)合基本不等式即可求得
的最大值,即可求得周長(zhǎng)的最大值;或由正弦定理,用角表示出
,結(jié)合輔助角公式及角的取值范圍,即可求得
的取值范圍,進(jìn)而求得周長(zhǎng)的最大值.
(1),所以
,
因?yàn)?/span>,
,
又,
,
,
,
(2)因?yàn)?/span>,即
,
所以,
方法1.由余弦定理,得.
,
即,
即,(當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取等號(hào))
所以周長(zhǎng)的最大值為
.
方法2.由正弦定理可知,
,
,
,
所以,
又,
,
,
,
所以當(dāng)時(shí),
取最大值
.
所以周長(zhǎng)的最大值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)
的距離比到直線
的距離小
,設(shè)點(diǎn)
的軌跡為曲線
.
(1)求曲線的方程;
(2)過(guò)曲線上一點(diǎn)
(
)作兩條直線
,
與曲線
分別交于不同的兩點(diǎn)
,
,若直線
,
的斜率分別為
,
,且
.證明:直線
過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)拋物線:
的焦點(diǎn)為
,準(zhǔn)線為
,
,以
為圓心的圓
與
相切于點(diǎn)
,
的縱坐標(biāo)為
,
是圓
與
軸的不同于
的一個(gè)交點(diǎn).
(1)求拋物線與圓
的方程;
(2)過(guò)且斜率為
的直線
與
交于
,
兩點(diǎn),求
的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已如橢圓E:(
)的離心率為
,點(diǎn)
在E上.
(1)求E的方程:
(2)斜率不為0的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn),且與E交于P,Q兩點(diǎn),試問(wèn):是否存在定點(diǎn)C,使得
?若存在,求C的坐標(biāo):若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,橢圓C:
的離心率是
,拋物線E:
的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn),且位于第一象限,E在點(diǎn)P處的切線與C交與不同的兩點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為D,直線OD與過(guò)P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.
(i)求證:點(diǎn)M在定直線上;
(ii)直線與y軸交于點(diǎn)G,記
的面積為
,
的面積為
,求
的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高校進(jìn)行自主招生測(cè)試,報(bào)考學(xué)生有500人,其中男生300人,女生200人,為了研究學(xué)生的成績(jī)是否與性別有關(guān),現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名學(xué)生,先統(tǒng)計(jì)了他們測(cè)試的分?jǐn)?shù),然后按性別分為男、女兩組,再將兩組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分成4組:,
,
,
分別加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖可以估計(jì)女生測(cè)試成績(jī)的平均值為103.5,請(qǐng)你估計(jì)男生測(cè)試成績(jī)的平均值,由此推斷男、女生測(cè)試成績(jī)的平均水平的高低;
(Ⅱ)若規(guī)定分?jǐn)?shù)不小于110分的學(xué)生為“優(yōu)秀生”,請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表,并判斷是否有
的把握認(rèn)為“優(yōu)秀生與性別有關(guān)”?
優(yōu)秀生 | 非優(yōu)秀生 | 合計(jì) | |
男生 | |||
女生 | |||
合計(jì) |
參考公式:,
.
參考數(shù)據(jù):
P( | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球
的球面上,
平面
,
,
,若球
的表面積為
,則三棱錐
的側(cè)面積的最大值為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
是邊長(zhǎng)為3的疋方形,側(cè)面
與底面
垂直,過(guò)點(diǎn)
作
的垂線,垂足為
,且滿足
,點(diǎn)
在棱
上,
(1)當(dāng)時(shí),求直線
與平面
所成角的正弦值;
(2)當(dāng)取何值時(shí),二面角
的正弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是拋物線
上的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)
的坐標(biāo)為
,直線
的斜率為
.設(shè)拋物線
的焦點(diǎn)在直線
的下方.
(Ⅰ)求k的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)C為W上一點(diǎn),且,過(guò)
兩點(diǎn)分別作W的切線,記兩切線的交點(diǎn)為
. 判斷四邊形
是否為梯形,并說(shuō)明理由.
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