Question

如圖，已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，E的左頂點為A、上頂點為B，點P在橢圓上，且△PF₁F₂的周長為4+2

3

．

（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)C，D是橢圓E上兩不同點，CD∥AB，直線CD與x軸、y軸分別交于M，N兩點，且

MC

=λ

CN

，

MD

=μ

DN

，求λ+μ的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意知：

2a+2c=4+2 3 e= c a = 3 2

，由此能求出橢圓方程．
（II）由A（-2，0），B（0，1），知kAB=

1

2

．由CD∥AB，設(shè)直線CD的方程為y=

1

2

x+m，由已知，得M（-2m，0），N（0，m），設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由

x2 4 +y2=1 y= 1 2 x+m

，得x²+2mx+2m²-2=0，再由根的判別式和韋達定理知λ=-1-

2m

x1

，同理，μ=-1-

2m

x2

，由此能求出λ+μ∈（-∞，-2]∪（2，+∞）．

解答：解：（I）由題意知：

2a+2c=4+2 3 e= c a = 3 2

，
∴a²=4，b²=1，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（II）∵A（-2，0），B（0，1），∴kAB=

1

2

．
由CD∥AB，設(shè)直線CD的方程為y=

1

2

x+m，
由已知，得M（-2m，0），N（0，m），
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由

x2 4 +y2=1 y= 1 2 x+m

，得x²+2mx+2m²-2=0，
△=（2m）²-4（2m²-2）＞0，∴m²＜2，
∴x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-2，
由

MC

=λ

CN，

得（x₁+2m，y₁）=λ（-x₁，m-y₁），
∴x₁+2m=-λx₁，即λ=-1-

2m

x1

，
同理，由

MD

=μ

DN

，得μ=-1-

2m

x2

，
∴λ+μ=-2-2m(

1

x1

+

1

x2

)=-2-2m×

x1+x2

x1x2

=-2+

2m2

m2-1

=

2

m2-1

，
由m²＜2，得

2

m2-1

∈(-∞，-2]∪(2，+∞)，
∴λ+μ∈（-∞，-2]∪（2，+∞）．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．