Question

【題目】已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為、，設(shè)點(diǎn)，在中， ，周長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若直線與的斜率之和為，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）記第（2）問(wèn)所求的定點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試根據(jù)面積的不同取值范圍，討論存在的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）過(guò)定點(diǎn)；（3）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(1)由題意布列關(guān)于的方程組，從而得到橢圓方程；(2) 設(shè)直線方程： ，聯(lián)立方程可得： ，利用根與系數(shù)的關(guān)系及，得到過(guò)定點(diǎn).（3）設(shè)直線與橢圓相切， ，兩切線到的距離分別為，根據(jù)面積的不同取值范圍，討論存在的個(gè)數(shù).

試題解析：

（1）由得： ，所以………①

又周長(zhǎng)為，所以………②

解①②方程組，得

所以橢圓方程為

（2）設(shè)直線方程： ，交點(diǎn)

依題： 即：

過(guò)定點(diǎn).

（3），

設(shè)直線與橢圓相切，

得兩切線到的距離分別為

當(dāng)時(shí)， 個(gè)數(shù)為0個(gè)

當(dāng)時(shí)， 個(gè)數(shù)為1個(gè)

當(dāng)時(shí)， 個(gè)數(shù)為2個(gè)

當(dāng)時(shí)， 個(gè)數(shù)為3個(gè)

當(dāng)時(shí)， 個(gè)數(shù)為4個(gè)