Question

【題目】如圖，已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作斜率分別為的兩條直線(xiàn)，分別交橢圓于點(diǎn)，，且，求直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）將代入橢圓方程，結(jié)合離心率和的關(guān)系即可求得結(jié)果；（Ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，根據(jù)可求得直線(xiàn)方程為；當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)為，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式；將韋達(dá)定理代入中可整理得，從而可知直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)；又也過(guò)點(diǎn)，從而可知即為所求定點(diǎn).

（Ⅰ）橢圓過(guò)點(diǎn)

代入可得：

又，，解得：

所求橢圓的方程為：

（Ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為

則，，則，

當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為：

與橢圓方程聯(lián)立得：

設(shè)，，則有（*）

將（*）式代入，化簡(jiǎn)可得：

即

直線(xiàn)

直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)是

綜上所述：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)