Question

【題目】已知集合S={1,2,3,4,5,6}，一一映射f:S→S滿足條件：對(duì)于任意的x∈S，有f(f(f(x)))=x。則滿足條件的映射f的個(gè)數(shù)是( )。

A. 81 B. 80 C. 40 D. 27

Answer 1

【答案】A

【解析】

易知不存在使得且f(f(x))=x.否則, f(f(f(x)))= f(x)≠x，與已知矛盾.因此，對(duì)任意的，要么f(x)=x，要么，且互不相等.故只有如下三種情況：

(1) 對(duì)任意，f(x)=x這樣的f只有1個(gè)；

(2) f中存在一個(gè)循環(huán)：a→b→c→a，而其他3個(gè)元素滿足f(x)=x.這樣的f有個(gè);

(3) f中存在兩個(gè)循環(huán): a→b→c→a和x→y→z→x.這樣的f有個(gè).

綜上所述，滿足條件的f共有81個(gè). 選A.