Question

【題目】設(shè)，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，兩點(diǎn)分別是橢圓的上，下頂點(diǎn)，是等腰直角三角形，延長交橢圓于點(diǎn)，且的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于的動點(diǎn)，直線與直分別相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，試問：的外接圓是否恒過軸上的定點(diǎn)（異于點(diǎn)）？若是，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，

【解析】

（1）利用橢圓的定義可得，結(jié)合是等腰直角三角形，可求橢圓的方程；

（2）設(shè)出直線方程，表示出的坐標(biāo)，求出圓心，利用半徑相等可得定點(diǎn)坐標(biāo).

（1）∵的周長為，由定義可知，，，

∴，∴，

又∵是等腰直角三角形，且，∴，

∴橢圓的方程為；

（2）設(shè)，則，

∴直線與的斜率之積為，

設(shè)直線的斜率為，則直線，，

由，可得，同理，

假設(shè)的外接圓恒過定點(diǎn)了，

則其圓心，

又

∴，

∴解得，

∴的外接圓恒過軸定點(diǎn).