Question

【題目】已知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為且滿足

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若求正整數(shù)的值；

（3）是否存在正整數(shù)，使得恰好為數(shù)列的一項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在兩個(gè)正整數(shù)；1或2

【解析】

（1）設(shè)的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為，運(yùn)用通項(xiàng)公式，解方程可得，，即可得到所求通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，運(yùn)用通項(xiàng)公式，解方程可得的值；（3）求得，，若為數(shù)列中的一項(xiàng)，整理化簡求得，的值，再由數(shù)學(xué)歸納法證明，即可得到結(jié)論．

（1）設(shè)的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為則

由已知，得

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為：

（2）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，由得

由于而僅在時(shí)為正整數(shù)，與為奇數(shù)矛盾！

當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，由得

綜上，得

（3）由（1）可求得

若為數(shù)列中的一項(xiàng)，則（為正奇數(shù)）或（為正偶數(shù)）

（i）若（為正奇數(shù)），則

當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立；

當(dāng)時(shí)，由得解得

由于為正奇數(shù)，故此時(shí)滿足條件的正整數(shù)k不存在.

（ii）若（為正偶數(shù)），

顯然，則

由得得

由為正偶數(shù)得為正偶數(shù)，因此，從而

當(dāng)時(shí)，；下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，

①當(dāng)時(shí)，顯然；

②假設(shè)當(dāng) 時(shí)，有 ；則當(dāng) 時(shí)，

由得，

故

即時(shí)，結(jié)論成立.

由①，②知：時(shí)，

綜合（i），（ii）得：存在兩個(gè)正整數(shù),1或2，使為數(shù)列中的項(xiàng).