Question

求適合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）a=3b，經(jīng)過點(diǎn)M（3，0）的橢圓；
（2）a=2

5

，經(jīng)過點(diǎn)N（2，-5），焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)位置進(jìn)行討論，結(jié)合題意分別求出橢圓的a、b之值，即可得到所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)雙曲線的方程為

y2

20

-

x

b2

2=1，將N點(diǎn)坐標(biāo)代入建立關(guān)于b的方程，解出b²=16，即可得到所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（1）∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)M（3，0），
∴當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a=3b=3，得b=1，此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

9

+y2=1；
當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，b=3，a=3b=9，此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

9

+

y2

81

=1．
綜上所述，所求橢圓的方程為

x2

9

+y2=1或

x2

9

+

y2

81

=1．
（2）∵雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，a=2

5

，
∴設(shè)雙曲線的方程為

y2

(2 5 )2

-

x2

b2

=1（b＞0），即

y2

20

-

x

b2

2=1（b＞0），
∵點(diǎn)N（2，-5）在雙曲線上，
∴

(-5)2

20

-

2

b2

2=1，解之得b²=16，
因此，所求雙曲線的方程為

y2

20

-

x

16

2=1．

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓、雙曲線滿足的條件，求它們的標(biāo)準(zhǔn)方程．著重考查了橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．