Question

【題目】已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，1），點(diǎn)B（﹣7，﹣2）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為C．
（Ⅰ）求以A、C為直徑的圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A的直線l與圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為D，|AD|=8，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）點(diǎn)B（﹣7，﹣2）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為C（﹣2，﹣7），

∵AC為直徑，AC中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，﹣3），

∴圓E的半徑為|AE|=5，

∴圓E的方程為（x﹣1）2+（y+3）2=25．

（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，易求|AD|=8，此時(shí)直線l的方程為x=4，

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y﹣1=k（x﹣4），

∴圓心E到直線l的距離d= ，

∵圓E的半徑為5，|AD|=8，所以d=3，

∴ =3，解得k= ，

∴直線l的方程為7x﹣24y﹣4=0．

綜上所述，直線l的方程為x=4或7x﹣24y﹣4=0

【解析】（Ⅰ）先根據(jù)題意求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而求得以線段AC為直徑的圓的圓心坐標(biāo)及半徑，即可求得圓E的方程；（Ⅱ）求直線方程時(shí)，先根據(jù)直線斜率是否存在進(jìn)行分類討論.