Question

已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是110，前20項(xiàng)的和是20．求此等差數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n，并求出當(dāng)n為何值時(shí)，S_n最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，根據(jù)題意利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的房產(chǎn)證，求出方程組的解得到首項(xiàng)與公差的值，把首項(xiàng)和公差代入求和公式得到S_n關(guān)于n的二次函數(shù)，由二次項(xiàng)系數(shù)小于0，得到拋物線開(kāi)口向下，有最大值，配方后根據(jù)二次函數(shù)取最值的方法即可得到S_n的最大值，以及此時(shí)n的值．

解答：解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，公差為d，（1分）
則

S10=10a1+45d=110 S20=20a1+190d=20

，（2分）
所以a₁=20，d=-2，
所以S_n=-n²+21n，（5分）
又Sn=-n2+21n=-(n-

21

2

)2+

441

4

，n∈N^*，
所以當(dāng)n=10或n=11時(shí)，S_n最大，最大值S₁₀=S₁₁=110．（8分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，本題的思路為：由題意確定出首項(xiàng)和公差后，進(jìn)而確定出求和公式S_n，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出S_n的最大值，并求出此時(shí)n的值，特別注意n為正整數(shù)這個(gè)隱含條件．靈活運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式是解本題的關(guān)鍵．