Question

（2012•廣元三模）設(shè)函數(shù)f（x）=

e x

x 2   +ax-a

(-4＜a＜0)．
（I）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值點的橫坐標(biāo)；
（Ⅲ）若x∈[-1，1]時，f（x）單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記g（x）=x²+ax-a（-4＜a＜0），由△=a²+4a=a（a+4）＜0可求函數(shù)f（x）的定義域為R；
（Ⅱ）令f′（x）=0即可求得函數(shù)f（x）的極值點的橫坐標(biāo)；
（Ⅲ）x∈[-1，1]時，f（x）單調(diào)遞增?x∈[-1，1]時，f′（x）≥0，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²-（2-a）x-2a，則x∈[-1，1]時，g（x）的最小值g（x）_min≥0即可．

解答：解：（Ⅰ）記g（x）=x²+ax-a（-4＜a＜0），
∴△=a²+4a=a（a+4）＜0，
∴g（x）的圖象開口向上，且與x軸沒交點，即x∈R時，g（x）＞0，
∴f（x）的定義域為（-∞，+∞）…4′
（Ⅱ）f′（x）=

ex(x2+ax-a)-ex(2x+a)

(x2+ax-a)2

=

ex[x2- (2-a)x-2a]

(x2+ax-a)2

…6′
由f′（x）=0得：x²-（2-a）x-2a=0，解得x=2或x=-a
∴函數(shù)f（x）的極值點的橫坐標(biāo)為2或-a…8′
（Ⅲ）∵x∈[-1，1]時，f（x）單調(diào)遞增，
∴x∈[-1，1]時，f′（x）≥0，即x²-（2-a）x-2a≥0…10′
設(shè)g（x）=x²-（2-a）x-2a，
則x∈[-1，1]時，g（x）的最小值g（x）_min≥0即可…11′
而g（x）的圖象開口向上，對稱軸為：x=

2-a

2

，
∵-4＜a＜0，
∴1＜

2-a

2

＜3，
∴g（x）在x∈[-1，1]時是減函數(shù)，…12′
∴g（x）_min=g（1）=1-（2-a）-2a=-a-1≥0，
∴a≤-1．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-4，-1]．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，著重考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查構(gòu)造函數(shù)的思想，化歸思想的應(yīng)用，屬于難題．