Question

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為；圓過橢圓的三個(gè)頂點(diǎn).過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）證明：在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值；并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（Ⅰ）設(shè)圓過橢圓的上、下、右三個(gè)頂點(diǎn)，可求得，再根據(jù)橢圓的離心率求得，可得橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，將方程與橢圓方程聯(lián)立求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算得 ．設(shè)x軸上的定點(diǎn)為，可得，由定值可得需滿足，解得可得定點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：

（Ⅰ）依題意，不妨設(shè)圓過橢圓的上、下、右三個(gè)頂點(diǎn)，

令，解得，故，

又，

∴，

∴，

解得．

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）證明：

由題意設(shè)直線的方程為，

由消去y整理得，

設(shè)，，

則，，

假設(shè)x軸上的定點(diǎn)為，

則

.

要使其為定值，需滿足，

解得.

故定點(diǎn)的坐標(biāo)為.