Question

已知S_n是數(shù)列的前n項和；
（1）分別計算S₂-S₁，S₄-S₂，S₈-S₄的值；
（2）證明：當n≥1時，，并指出等號成立條件；
（3）利用（2）的結論，找出一個適當?shù)腡∈N，使得S_r＞2008．

Answer 1

【答案】分析：（1）較為簡單，代入可計算；
（2）由（1）可猜想（2）的結論也是成立的，證明時要適當?shù)姆趴s每一項（共2^n-1項）都縮小為 ，
（3）的解答可由（2）的結論想到：新數(shù)列S₂-S₁，S₄-S₂，S₈-S₄…中每一項的值都大于等于 ，那么4018項的和為2009，于是對于數(shù)列{a_n}中連同a₁就有2⁴⁰¹⁹項，即a₁+＞1+2009=2010．
解答：解：
（1）S₂-S₁=，
S₄-S₂=，
S₈-S₄=．（2分）
（2）當n≥1時，=+…+（共2^n-1項）
≥×2^n-1=，當且僅當n=1時，等號成立．（4分）
（3）由于S₁=1，當n≥1時，≥，
于是，要使得S_T＞2008，只需 ＞2007．
將 按照第一組2¹項，第二組2²項，，第n組2ⁿ項的方式分組（6分）
由（2）可知，每一組的和不小于 ，且只有n=1時等于 ，
將這樣的分組連續(xù)取2×2007組，加上a₁，共有2⁴⁰¹⁵項，
這2⁴⁰¹⁵項之和一定大于1+2007=2008，
故只需T=2⁴⁰¹⁵，就能使得S_T＞2008．
點評：本題考查了數(shù)列前n項和的概念，不等式恒成立問題，合理猜想與邏輯推理的概念．對不等式的考查有一定的難度，綜合性較強，需要同學有深厚的功底才能勝任本題的解答．