Question

（1）已知x＞0，y＞0，且

1

x

+

9

y

=1，求x+y的最小值；
（2）已知x＜

5

4

，求函數(shù)y=4x-2+

1

4x-5

的最大值；
（3）若x，y∈（0，+∞）且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值；
（4）若-4＜x＜1，求

x2-2x+2

2x-2

的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用

1

x

+

9

y

=1與x+y相乘，展開(kāi)利用均值不等式求解即可．
（2）由x＜

5

4

，可得4x-5＜0，首先應(yīng)調(diào)整符號(hào)，再變形處理，即配湊積為定值．
（3）由2x+8y-xy=0變形可得

2

y

+

8

x

=1，與x+y相乘，展開(kāi)利用均值不等式求解即可．
（4）先利用配方法和拆項(xiàng)法將原式變形，

x2-2x+2

2x-2

=

1

2

•

(x-1)2+1

x-1

=

1

2

[(x-1)+

1

x-1

]，再調(diào)整符號(hào)，利用均值不等式求解．

解答：解：（1）∵x＞0，y＞0，

1

x

+

9

y

=1，∴x+y=（x+y）(

1

x

+

9

y

)=

y

x

+

9x

y

+10≥6+10=16．
當(dāng)且僅當(dāng)

y

x

=

9x

y

時(shí)，上式等號(hào)成立，又

1

x

+

9

y

=1，∴x=4，y=12時(shí)，（x+y）_min=16．
（2）∵x＜

5

4

，∴5-4x＞0，∴y=4x-2+

1

4x-5

=-(5-4x+

1

5-4x

)+3≤-2+3=1，
當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=

1

5-4x

，即x=1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x=1時(shí)，y_max=1．
（3）由2x+8y-xy=0，得2x+8y=xy，∴

2

y

+

8

x

=1，
∴x+y=（x+y）(

8

x

+

2

y

)=10+

8y

x

+

2x

y

=10+2(

4y

x

+

x

y

)≥10+2×2×

4y x • x y

=18，
當(dāng)且僅當(dāng)

4y

x

=

x

y

，即x=2y時(shí)取等號(hào)，
又2x+8y-xy=0，∴x=12，y=6，
∴當(dāng)x=12，y=6時(shí)，x+y取最小值18．
（4）

x2-2x+2

2x-2

=

1

2

•

(x-1)2+1

x-1

=

1

2

[(x-1)+

1

x-1

]
=-

1

2

[-(x-1)+

1

-(x-1)

]
∵-4＜x＜1，∴-（x-1）＞0，

1

-(x-1)

＞0．
從而[-(x-1)+

1

-(x-1)

]≥2
-

1

2

[-(x-1)+

1

-(x-1)

]≤-1
當(dāng)且僅當(dāng)-（x-1）=

1

-(x-1)

，
即x=2（舍）或x=0時(shí)取等號(hào)．
即(

x2-2x+2

2x-2

)max=-1．

點(diǎn)評(píng)：利用基本不等式求函數(shù)最值是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，對(duì)不符合基本不等式形式的應(yīng)首先變形，然后必須滿(mǎn)足三個(gè)條件：一正、二定、三相等．同時(shí)注意靈活運(yùn)用“1”的代換．