Question

【題目】已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.

（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；

（2）證明：；

（3）設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)確定其在各個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可；

(2)首先確定函數(shù)的周期性，然后結(jié)合(1)中的結(jié)論確定函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的最大值和最小值即可證得題中的不等式；

(3)對(duì)所給的不等式左側(cè)進(jìn)行恒等變形可得，然后結(jié)合(2)的結(jié)論和三角函數(shù)的有界性進(jìn)行放縮即可證得題中的不等式.

(1)由函數(shù)的解析式可得：，則：

，

在上的根為：，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.

(2)注意到，

故函數(shù)是周期為的函數(shù)，

結(jié)合(1)的結(jié)論，計(jì)算可得：，

，，

據(jù)此可得：，，

即.

(3)結(jié)合(2)的結(jié)論有：

.