Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；

（2）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間恒有意義，求實數(shù)的取值范圍；

（3）已知方程在有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)的對稱軸在區(qū)間內(nèi)列不等式，解不等式求得的取值范圍.

（2）先求得表達式，將函數(shù)在區(qū)間恒有意義，轉(zhuǎn)化為“對于任意的實數(shù)，不等式恒成立”，對分成兩種情況進行分類討論，由此求得的取值范圍.

（3）構(gòu)造函數(shù)，將寫出分段函數(shù)的形式，對分成兩種情況進行分類討論，結(jié)合在有兩個不相等的實數(shù)根，求得實數(shù)的取值范圍.

（1）因為在區(qū)間上不單調(diào)，則，解得

即的取值范圍；

（2）

函數(shù)在區(qū)間恒有意義，

等價于對于任意的實數(shù)，不等式恒成立，（*）

當時，，此時，與（*）式矛盾，不合題意

當時，由可知，，，所以恒成立，即（*）成立

又在區(qū)間上實數(shù)必須滿足

綜上，所求實數(shù)的取值范圍為；

（3）令

方程在有兩個不相等的實數(shù)根

等價于函數(shù)在區(qū)間上存在兩個零點

因為且在處圖象不間斷

當時，無零點；

當時，由于在單調(diào)，∴在內(nèi)至多只有一個零點，不妨設(shè)的兩個零點為，并且

若有一個零點為0，則，于是，零點為或，所以滿足題意

若0不是函數(shù)零點，則函數(shù)在區(qū)間上存在兩個零點有以下兩種情形：

①若，，

則.

②若，

則．

綜合①②得，實數(shù)的取值范圍是.