Question

【題目】已知函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值比最小值大．

（1）求的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間的最小值是，求實數(shù)的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）分和兩種情況討論，分析出函數(shù)在區(qū)間上的單調性，可得出該函數(shù)的最大值和最小值，再結合題中條件得出關于的方程，解出即可；

（2）設，利用單調性的定義證明出函數(shù)在上為增函數(shù)，可得出，可得出，并構造函數(shù)，對參數(shù)分類討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調性，得出該函數(shù)的單調性，結合最小值為可求出實數(shù)的值.

（1）當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，

則該函數(shù)的最大值為，最小值為，

由題意得，解得，或（舍去）；

當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，

則該函數(shù)的最大值為，最小值為，

由題意得，即，該方程無實數(shù)解．

綜上；

（2）函數(shù)，

令，，任取，

因，

，所以，有，，所以．

則函數(shù)在上單調遞增，故．

令，因此，，所以問題轉化為：

函數(shù)在上有最小值，求實數(shù)的值．

因，對稱軸方程為，

當時，即當時，函數(shù)在上單調遞增，

故，由，解得與矛盾；

當時，即當時，，

由，解得或（舍去）.

綜上，．