Question

【題目】設(shè)，，，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（）.

（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線(xiàn)方程；

（2）設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線(xiàn)方程；

（2）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后分和討論求函數(shù)的單調(diào)性；（3）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)，由函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的最大值說(shuō)明恒成立，當(dāng)時(shí)，令，則，分，兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，并判斷函數(shù)的最值，說(shuō)明的取值范圍.

解：（1）當(dāng)時(shí)，，，

，，

所以在處的切線(xiàn)方程為，即.

（2）.

①當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)，令得，.

ⅰ.若，即時(shí)，則恒成立，

所以單調(diào)增區(qū)間為.

ⅱ.若，即時(shí)，即或；

即，

所以單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.

ⅲ.若，即時(shí)，即或，即，所以單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.

（3）.

①若時(shí)，則在時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，恒成立.

②若時(shí)，令，則，

ⅰ.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，所以單調(diào)遞減，所以，即，

所以單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，恒成立.

ⅱ.當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增且，

所以，所以在上，所以，所以單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足條件.

所以a的取值范圍是.