Question

（13分）某家庭為小孩買教育保險(xiǎn)，小孩在出生的第一年父母就交納保險(xiǎn)金，數(shù)目為a₁，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d（d＞0），因此，歷年所交納的保險(xiǎn)金數(shù)目為a₁,a₂,…是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列，與此同時(shí)保險(xiǎn)公司給予優(yōu)惠的利息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利，這就是說(shuō)，如果固定利率為r（ｒ＞0），那么，在第n年末，第一年所交納的保險(xiǎn)金就變?yōu)閍₁（1+r）^n-1，第二年所交納的保險(xiǎn)金就變?yōu)閍₂（1+r）^n-2,…，以Tn表示到第n年末所累計(jì)的保險(xiǎn)金總額。
（1）寫出T_n與T_n+1的遞推關(guān)系（n≥1）；
（2）若a₁=1,d=0.1，求｛T_n｝的通項(xiàng)公式。（用r表示）

Answer 1

（1）T_n+1=T_n（1+r）+a₁+nd ；（2）Tn=。

本題考查數(shù)列模型的構(gòu)建，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)建數(shù)列模型．
（Ⅰ）根據(jù)在第n年末，第一年所交納的保險(xiǎn)金就變?yōu)閍₁（1+r）^n-1，第二年所交納的保險(xiǎn)金就變成a₂（1+r）^n-2，…，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）根據(jù)已知中Tn所表示的實(shí)際意義，根據(jù)T_n表示到第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額，及儲(chǔ)備金總額的計(jì)算方法計(jì)算T_n，然后對(duì)其進(jìn)行分解，并對(duì)分解結(jié)合等差數(shù)列等比數(shù)列的定義進(jìn)行分析，不難得到結(jié)果．
解：（1）T_n+1=T_n（1+r）+a₁+nd （6分）
（2）T_n+1=T_n（1+r）+  T₁=a₁=1
用待定系數(shù)法：T_n+1+A（n+1）+B=（1+r）（T_n+An+B）
解得：A=
Tn=（7分）